Бильярдная физика

1) Движение шара до соударения с другим шаром или бортом Согласно физике тело изменяет свою скорость и/или направление под воздействием внешних сил. В механике имеют дело с тремя типами сил: силы тяготения, силы упругости и силы трения. Нас будут интересовать последние две: сила упругости (сила нормальной реакции) и сила трения. Причем первая (сила нормальной реакции) будет вступать в игру только на соударениях (шар-шар, шар-борт), то есть в горизонтальном направлении. В вертикальном направлении сила реакции опоры и сила тяжести направлены вдоль одной прямой и уравновешивают друг друга. (Расматриваем случаи когда шар не отрывается от стола, что может произойти в случае сильного удара наклонным кием или в случае сильного удара шара о борт. Но эти случаи исключительны для бильярда). Таким образом, движение шара по столу будет определяться действием силы трения. Сила трения приложена к обоим телам, поверхности которых соприкасаются, в точке ("пятне") контакта и направлена противоположно скорости движения тела относительно этой поверхности. Нас будет интересовать точка контакта шара с поверхностью стола (опорная точка), так как сила трения приложена к этой точке.
Движение шара представляет собой комбинацию поступательного и вращательного движений, то есть движение шара рассматривается как сумма двух движений. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, имеют одинаковые скорости и ускорения. Скорости и ускорения точек тела при поступательном движении равны и одинаково направлены. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращательном движении тела точки его, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, имеют неодинаковые траектории, скорости и ускорения. Угловая скорость (обозначается как ω) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем. Линейной скоростью точки во вращательном движении называется мгновенная скорость движущейся точки. Вектор линейной скорости направлен по касательной к траектории. При вращении тела вокруг любой оси все его точки за один и тот же интервал времени поворачиваются на один и тот же угол, поэтому угловые скорости всех точек в данный момент одинаковы, и можно говорить об угловой скорости тела. Это обстоятельство отличает угловую скорость от линейной: у разных точек неточечного тела, разные линейные скорости. Чем дальше от оси вращения находится точка, тем больше ее линейная скорость. Линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу окружности, по которой она вращается. $V=\omega *R$

---

Рассмотрим движение опорной точки (точки контакта с поверхностью) шара в данный момент времени. Сила трения противодействует скольжению и направлена против направления относительной скорости скольжения. Нас будет интересовать скорость точки контакта относительно поверхности стола, а точнее направление этой скорости. Это направление будет определять направление силы трения скольжения, а следовательно и ускорения шара. Причем так как движения два (поступательное и вращательное), то и скорость точки контакта относительно поверхности (скорость скольжения) является векторной суммой скорости поступательного движения и линейной скорости вращательного движения точки ($V+\omega хR$).

• Динамика поступательного движения определяется уравнением: $\overrightarrow{F}=m*\overrightarrow{a_{\text{п}}}$
  Единственной силой, сообщающей шару ускорение во время движения является сила трения. (сила тяжести и сила реакции стола в любой момент времени компенсируют друг друга). $F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg$ ➞ $a_{\text{п}}=\frac{+}{-}\mu g$
  То есть в каждый момент времени скорость поступательного движения будет изменяться на величину $\mu g$
  Будет ли она возрастать или убывать зависит от направления силы трения (т.е направления ускорения).
• Динамика вращательного движения определяется уравнением: $\overrightarrow{M}=I*\overrightarrow{\epsilon }$
  Уравнение в общем смысле аналогично уравнению поступательного движения. С той разницей, что вместо силы здесь выступает момент силы. При вращательном движении момент силы играет такую же роль как сила при поступательном движении. Момент силы определяется как произведение силы на плечо. $\overrightarrow{M}=\overrightarrow{F}*d$ Так как все точки вращающегося тела, лежащие на разном расстоянии от оси вращения имееют разную линейную скорость, которая увеличивается по мере удаления от оси вращения, то здесь имеет значение расстояние от линии действия силы до оси вращения, т.е. плечо силы.
  Также, вместо массы здесь выступает момент инерции, величина, характеризующая меру инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Так как линейная скорость точек тела увеличивается по мере увеличения расстояния от оси вращения, то для инертности тела будет иметь значение то как будет распределена масса в теле (сплошное тело, полое тело и т.д.).
Бильярдный шар - сплошной шар радиуса R, ось вращения проходит через центр масс шара.
Момент инерции: $\frac{2}{5}*m{R}^2$
При вращении тела вокруг какой-либо оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные линейные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее, можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют следующие кинематические характеристики движения — угол поворота (φ), угловую скорость (ω), угловое ускорение (ε).
Угловые величины, характеризующие вращательное движение, и линейные параметры, определяющие движение отдельных точек вращающегося тела, связаны через расстояние (R) рассматриваемой точки до оси вращения.
• Угол поворота (φ) – угол, на который поворачивается радиус-вектор (R), соединяющий центр окружности с точкой вращающегося тела.
  Путь, пройденный точкой при движении по окружности: $S=\phi *R$
• Угловая скорость (ω) показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.
  Линейная скорость вращения: $V=\omega *R$
• ε - угловое ускорение. По аналогии с линейным ускорением - величина, характеризующая изменение скорости с течением времени, только угловой.
  Линейное (тангенциальное) ускорение: $a_{\text{вр}}=\epsilon *R$
Единственной силой, которая имеет ненулевой момент относительно горизонтальной оси перпендикулярной направлению движения является сила трения. Плечо этой силы - радиус шара. (Линия действия силы нормальной реакции проходит через центр, поэтому имеет нулевой момент относительно осей вращения). $$F_{\text{тр}}*R=\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)*\left(\frac{a_{\text{вр}}}{R}\right)$$ ➞$a_{\text{вр}}=\frac{+}{-}\frac{5}{2}\mu g$
$a_{\text{вр}}$ также называют тангенциальным ускорением вращения. Тангенциальным ускорением называют скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения.
То есть в каждый момент времени линейная скорость вращения будет изменяться на величину $\frac{5}{2}\mu g$
Будет ли она возрастать или убывать зависит от направления силы трения (т.е направления ускорения).

И в том и другом случае ускорение постоянно (действует сила трения, постоянная по модулю и направлению), поэтому движение будет равнопеременным в обоих случаях. Если известны начальные скорости и ускорение, то можно найти скорость в любой момент времени.

• Для поступательного движения:
  $\overrightarrow{V_{\text{п}}}=\overrightarrow{V_{\text{п0}}}+\overrightarrow{a_{\text{п}}}*t$
• Для вращательного движения:
  $\overrightarrow{V_{\text{вр}}}=\overrightarrow{V_{\text{вр0}}}+\overrightarrow{a_{\text{вр}}}*t$

Движение шара можно разложить на два движения: поступательное движение и вращательное движение вокруг полюса (точка, через которую движение раскладывается на поступательное и вращательное) Полюс вращения - центр шара.

• Поступательное движение определяют уравнения: $x=\mathrm{f1}\left(t\right)$; $y=\mathrm{f2}\left(t\right)$
  Так как ускорение постоянно: $a_{\text{п}}=\frac{+}{-}\mu g=\text{const}$
  Движение с постоянным ускорением:
  Векторная форма: $$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{S_0}+\overrightarrow{V_0}*t+\frac{\overrightarrow{a_{\text{п}}}*t^2}{2}$$ Координатная форма: $$x=x_0+V_{x_0}*t+\frac{a_x*t^2}{2}$$ $$y=y_0+V_{y_0}*t+\frac{a_y*t^2}{2}$$ где:
  $V_{x_0}$, $V_{y_0}$ - проекции $\overrightarrow{V}$ на соответствующие оси координат;
  $a_x$, $a_y$- проекции $\overrightarrow{a}$ на соответствующие оси координат;

  ---

  Под действием силы скорость меняется по модулю и/или направлению: если сила лежит на линии движения - по модулю, если нет - по модулю и направлению. Направление ускорения, сообщаемого телу какой-либо силой, всегда совпадает с направлением этой силы. Ускорение,сообщаемое телу силой трения скольжения, направлено вдоль плоскости соприкосновения и противоположно скорости относительного движения соприкасающихся тел (скорости скольжения). Вектор скорости скольжения образован геометрическим сложением векторов скорости поступательного движения и линейной скорости вращения в опорной точке (точке контакта с поверхностью). Таким образом, если эти скорости (поступательная и линейная вращательная в опорной точке) лежат на одной прямой, то траектория движения будет прямой. Если нет - кривой (в данном случае, дугой параболы). Дуговая траектория возникает, когда направление вращения шара не совпадает с направлением движения.
  • Если ускорение постоянно (по модулю и направлению) и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное В случае прямолинейного движения достаточно выбрать одну координатную ось вдоль направления движения. Например ОY, тогда положение точки будет определяться его координатой y.
  • Если ускорение постоянно (по модулю и направлению) и не лежит на одной прямой со скоростью, движение параболическое. В данном случае движение представляется как сумма независимых движений по декартовым осям. Скорость и ускорение раскладываются по осям координат.
    В бильярде такое движение возможно в двух случаях.
    1. Удар наклонным кием влево/вправо от центра - тогда будет ненулевой момент силы относительно продольной оси (параллельной направлению движения), которому отвечает добавочная скорость скольжения точки опоры, перпендикулярная к направлению первоначального движения (вращение массе).
    2. Соударение с другим шаром или бортом - тогда в момент удара поступательная скорость изменяется по модулю и направлению; таким образом направление вращения шара не будет совпадать с направлением движения.
• Вращательное движение определят уравнение: $\phi =\mathrm{f3}\left(t\right)$;
  Вращательное движение вокруг неподвижной оси определяется углом поворота φ, то есть угол, на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий центр окружности с точкой вращающегося тела. Точки тела, совершающего вращательное движение, поворачиваются относительно оси вращения на некоторые углы и движутся по дугам окружностей, проходят определенные пути. Тангенциальное ускорение ($a_{\text{вр}}=\text{const}$) постоянно, следовательно путь точки по окружности - длина дуги - определяется:
  $l=l_{\text{0}}+V_{\text{вр0}}*t+\frac{a_{\text{вр}}*t^2}{2}$ ($a_{\text{вр}}$>0 - ускоренное, $a_{\text{вр}}$<0 - замедленное) ⟾ $\phi ={\phi }_{\text{0}}+{\omega }_0*t+\frac{\epsilon *t^2}{2}$ (ε>0 - ускоренное, ε<0 - замедленное)

Блок №1 - удар горизонтальным кием в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара Шар в момент движения может находиться в двух состояниях: скольжения и качения. При скольжении скорость опорной точки шара относительно поверхности отлична от нуля. При качении опорная точка будет иметь нулевую относительную скорость скольжения.

Фаза скольжения может включать в себя:
• чистое скольжение - шар не имеет вращения в вертикальной плоскости ($V_{\text{вр}}=0$),
При проскальзывании или пробуксовке скорость вращения отлична от нуля ($V_{\text{вр}}\ne 0$):
• проскальзывание - модуль скорости поступательного движения больше модуля скорости вращательного движения ($V_{\text{п}}>V_{\text{вр}}$) и эти скорости противоположно направлены ($\mathrm{sign}\left(V_{\text{п}}\right)\ne \mathrm{sign}\left(V_{\text{вр}}\right)$);
  либо эти скорости сонаправлены ($\mathrm{sign}\left(V_{\text{п}}\right)=\mathrm{sign}\left(V_{\text{вр}}\right)$).
• пробуксовка - модуль скорость поступательного движения меньше модуля скорости вращательного движения ($V_{\text{п}}<V_{\text{вр}}$) и эти скорости противоположно направлены ($\mathrm{sign}\left(V_{\text{п}}\right)\ne \mathrm{sign}\left(V_{\text{вр}}\right)$).
$V_{\text{вр}}$ - линейная скорость вращения в опорной точке.
$\mathrm{sign}\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}$ В фазе качения модуль скорости поступательного движения равен модулю скорости вращательного движения ($V_{\text{п}}=V_{\text{вр}}$) и эти скорости противоположно направлены ($\mathrm{sign}\left(V_{\text{п}}\right)\ne \mathrm{sign}\left(V_{\text{вр}}\right)$).

Под действием силы трения скольжения изменяется поступательная скорость тела, а также сила трения скольжения, действующая на шар в месте контакта с поверхностью создает вращающий момент, раскручивающий шар. Скольжение прекратится как только суммарная скорость точки контакта шара относительно поверхности будет равна нулю. Эта скорость, относительная скорость ($V_{\text{отн}}$), определяется как геометрическая сумма векторов скорости поступательного движения и линейной скорости вращения. Относительная скорость ($V_{\text{отн}}$) в точке контакта также называется скоростью скольжения. Иными словами, как только линейная скорость вращения шара в точке контакта будет равна по модулю и противоположна по направлению с поступательной скоростью шара проскальзывание шара относительно поверхности прекратится и шар начнет катиться.
В фазе качения шар за один оборот проходит расстояние равное его периметру (длина окружности). В случае проскальзывания или пробуксовки шар проходит за один оборот растояние большее или меньшее его периметра, соответственно. Катящийся шар сочетает поступательное движение с естественным верхним вращением. Когда тело катится по поверхности другого, то появляется сила трения качения. Сила трения качения гораздо меньше силы трения скольжения при той же силе давления на поверхность. Поэтому большую часть времени бильярдный шар находится в фазе качения.
После некоторой фазы скольжения по сукну всегда наступает фаза качения шара. Скольжение переходит в естественное качение до полной остановки шара. Сколько по времени будет длится фаза скольжения (и будет ли она вообще, шар может сразу начать катиться), зависит от начальных вращательной и поступательной скоростей, приданных шару в момент удара. Иными словами, от силы удара и точки удара по шару. Рассмотрим эти случаи. 1) Удар в центр шара. В момент удара шар приобретает только поступательную скорость и начинает скользить по сукну. Вращающий момент силы равен нулю, так как линия действия силы пересекает ось вращения (т.е плечо силы равно нулю). Сила трения скольжения воздействует на шар следующим образом: во-первых уменьшает его поступательную скорость; во-вторых сила трения приложенная к шару в точке контакта с поверхностью создает вращающий момент. Начинается раскрутка шара, т.е. приобретение скользящим битком попутного верхнего вращения за счет трения о сукно. В какой-то момент возрастающая линейная скорость вращательного движения и убывающая скорость поступательного движения сравняются, шар за один оборот будет проходить расстояние равное периметру. С этого момента шар начинает катиться. Сила трения скольжения становится равной нулю. С этого момента на шар действует сила трения качения. Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим. 2) Удар выше центра шара (верхнее/прямое вращение). В момент удара шар наряду с поступательным получает и вращательное движение (сверху вниз) и начинает скользить по сукну. Характер движения шара зависит от расстояния от точки удара до центра шара. Точка удара определяет соотношение начальных скоростей поступательного и вращательного движения. Чем более удалена точка удара от центра шара, тем большая часть энергии будет затрачена на придание шару вращения и тем меньшая часть энергии будет затрачена на придание шару поступательного движения.
Здесь нужно выделить три варианта, определяющие направление силы трения скольжения.
В момент удара: 1) Поступательная скорость меньше линейной скорости вращения (по модулю) (Vп < Vв). Удар выше центра более чем на 2/5 радиуса. В данном случае линейная скорость вращения в опорной точке больше поступательной скорости, сила трения скольжения в точке контакта с поверхностью направлена в сторону поступательного движения и противоположна по направлению скорости вращательного движения, тем самым увеличивая скорость поступательного движения и уменьшая скорость вращательного движения. Такое скользящее движение битка называется пробуксовкой. В этот период шар движется ускоренно. В некоторый момент эти скорости сравняются и наступит фаза качения шара. 2) Поступательная скорость равна линейной скорости вращения (по модулю) (Vп равна Vвр). Удар выше центра на 2/5 радиуса. При таком ударе фаза скольжения отсутствует и сразу наступает фаза качения шара. Дело в том, что при таком ударе сообщаемое шару вращение как раз таково, что соответствуюшая ему линейная скорость в точке опоры шара в точности равна и противоположна по направлению скорости поступательного движения. 3) Поступательная скорость больше линейной скорости вращения (по модулю) (Vп > Vвр). Удар выше центра менее чем на 2/5 радиуса. В данном случае линейная скорость вращения в опорной точке меньше поступательной скорости, сила трения скольжения в точке контакта направлена в сторону скорости вращательного движения и противоположно скорости поступательного движения, тем самым уменьшая скорость поступательного движения и увеличивая скорость вращательного движения. Происходит раскрутка шара, описанная в п.1. В этот период шар движется замедленно. В некоторый момент эти скорости сравняются и наступит фаза качения шара. 3) Удар ниже центра шара (нижнее/обратное вращение). или В момент удара шар наряду с поступательным получает и вращательное движение (снизу вверх) и начинает скользить по сукну. Сила трения скольжения направлена противоположно скорости поступательного движения и также противоположно скорости вращательного движения в точке контакта, тем самым уменьшая скорость поступательного движения и уменьшая скорость вращательного движения. В какой-то момент скорость вращения упадет до нуля. С этого момента какое-то время шар будет скользить не имея вращения. После чего наступит ситуация п.1 (удар в центр). За счет действия силы трения скольжения шар приобретает прямое вращение. Как только линейная скорость вращения шара сравняется с поступательной скоростью наступит фаза качения шара. Различают высокие и низкие удары.
Высоким удар считается удар выше центра более чем на $\frac{2}{5}R$, или более чем на $\frac{7}{5}R$ если считать от поверхности. Низкие удары - ниже этой отметки. При высоких ударах трение действует в направлении удара, при низких - противоположно первоначальному направлению удара.
В отличие от естественного качения при скольжении нарушается естественное равновесие между поступательным движением и вращением. Если равновесие сдвинуто в сторону поступательного движения - начинается раскрутка шара, если в сторону вращения - пробуксовка. И в том, и в другом случае трение о сукно стремится восстановить равновесие и привести любое скользящее движение в естественное качение.

---

Зависимость поступательной скорости шара от точки удара, силы удара и и соотношения массы шара и кия При ударе кия не в центр шара кинетическая энергия кия распределяется между кинетической энергией поступательного движения битка и кинетической энергией вращательного движения битка, поэтому при таком ударе начальная скорость поступательного движения битка меньше чем при ударе в центр. При ударе кием не направленным в центр шара, шар получает от кия не только импульс, который приводит биток в поступательное движение, но и момент импульса, который приводит биток во вращательное движение.
Передача этих импульсов от кия шару происходит в течение некоторого времени контакта за счет силы, котороя возникает в точке контакта кия с шаром, и котороя увеличивается от нуля до максимума в первой половине времени контакта и уменьшается от максимума до нуля во второй половине времени контакта ($F$ - средняя сила удара за время контакта). При этом, как поступательная, так и вращательная скорости шара за время контакта увеличиваются от нуля до максимума, то есть до тех скоростей с которыми начинает двигаться биток сразу после удара ($V\text{ш}$ и ω).
Импульс характеризует количество поступательного движения. Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело.
$F=m_{\text{к}}{V}_{\text{к}}-m_{\text{к}}{\mathrm{V1}}_{\text{к}}=m_{\text{ш}}{V}_{\text{ш}}$
➞ ${\mathrm{V1}}_{\text{к}}=V_{\text{к}}-\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}{V}_{\text{ш}}$
Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Изменение момента импульса тела равно равнодействующему момент внешних сил, действующих на тело.
$bF=I\omega =\left(\frac{2}{5}{m}_{\text{ш}}{R}^2\right)\omega$
➞ $\omega =\frac{5}{2}\frac{V_{\text{ш}}}{R^2}b$
Предполагая абсолютно упругий удар энергия системы сохраняется:
$\frac{1}{2}{m}_{\text{к}}{V_{\text{к}}}^2=\frac{1}{2}{m}_{\text{к}}{{\mathrm{V1}}_{\text{к}}}^2+\frac{1}{2}{m}_{\text{ш}}{V_{\text{ш}}}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}{m}_{\text{ш}}{R}^2\right){\omega }^2$
То есть кинетическая энергия кия до удара распределяется между кинетической энергией поступательного движения шара, кинетической энергией вращательного движения шара и остаточная энергия послеударного движения кия (так называемое сопровождении).
$\frac{1}{2}{m}_{\text{к}}{V_{\text{к}}}^2=\frac{1}{2}{m}_{\text{к}}{(V_{\text{к}}-\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}{V}_{\text{ш}})}^2+\frac{1}{2}{m}_{\text{ш}}{V_{\text{ш}}}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}{m}_{\text{ш}}{R}^2\right){\left(\frac{5}{2}\frac{V_{\text{ш}}}{R^2}b\right)}^2$
➞
$V_{\text{ш}}=\frac{2V_{\text{к}}}{\left(1+\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}+\frac{5}{2}{\left(\frac{b}{R}\right)}^2\right)}$
($V_{\text{ш}}=V_{\text{п}}$ - поступательная скорость шара сразу после удара)
$\omega =\frac{5V_{\text{к}}b}{R^2\left(1+\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}+\frac{5}{2}{\left(\frac{b}{R}\right)}^2\right)}$
➞ $\omega =\frac{5}{2}\frac{b}{R^2}{V}_{\text{п}}$
⟾ $V_{\text{в}}=\omega R=\frac{5}{2}\frac{b}{R}{V}_{\text{п}}$
($V_{\text{в}}$ - линейная скорость вращения (по модулю) сразу после удара)
Самая большая начальная скорость шара при заданной скорости кия будет при ударе в центр шара (b=0). Из этого соотношения видно,что при массе кия, равной массе шара ($m_{\text{к}}=m_{\text{ш}}$), скорость шара будет такой же как скорость кия до соударения, а сам же кий остановится. При этом передача энергии от кия шару бкдет 100%.
Если же кий будет тяжелее шара, то скорость шара после соударения будет больше, чем скорость кия до соударения, однако при этом биток получит не всю энергию, вложенную игроком в удар, и остаточная энергия будет выражена в послеударном движении кия - сопровождение кия (${\mathrm{V1}}_{\text{к}}=V_{\text{к}}-\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}{V}_{\text{ш}}>0$ ).
При стандартном соотношении массы шара к массе кия $\frac{m_{\text{ш}}}{m_{\text{к}}}=\frac{\text{280(гр)}}{\text{700(гр)}}=\frac{1}{2.5}$ начальная скорость битка будет на ≈ 43% выше чем скорость кия в момент удара.
В действительности, если упругость шара практически абсолютна, то кий и борт не имеют абсолютной упругости. Тогда, если принять потери энергии ≈ 8%, то превышение скорости будет 35%.
При одной и той же скорости кия, чем дальше точка удара от центра шара, тем меньше поступательная скорость шара, тем больше скорость вращения шара. При ударе кием в точку, удаленную от центра шара на 0.57 радиуса поступательная скорость шара будет примерно в 1.6 раза меньше, чем при ударе в центр шара с той же скоростью. Такое расстояние будет предельным, чтобы не получился кикс. Средняя сила удара ($F$) представляет собой результирующую сил нормальной реакции ($F_{\text{н}}$) и трения ($F_{\text{тр}}$), возникающих во время удара.
Сила трения скольжения прямо пропорциональна модулю силы реакции: $F_{\text{тр}}=\mu F_{\text{н}}$ ⟾ $\mu =\frac{F_{\text{тр}}}{F_{\text{н}}}$
Предельный коэффициент силы трения между наклейкой и шаром ≈ 0.7.
Тогда, $\mu =\frac{F_{\text{тр}}}{F_{\text{н}}}=\frac{\sin \left(\beta \right)}{\cos \left(\beta \right)}=\frac{b}{\sqrt{R^2-b^2}}=0.7$ ⟾ $\frac{b}{R}\approx \mathrm{0.57}$
Для безопасного удара предельным считается соотношение: $\frac{b}{R}=\mathrm{0.5}$
В бильярде есть понятие глубина винта, то есть процентное соотношение винта. Глубина винта определяется по отношению к ее максимально возможной величине (100% - примерно половина радиуса шара). Сдвиг наклейки дальше максимально возможной глубины винта приводит к киксу. 2) Момент соударения Бильярдные шары сделаны из упругого материала, поэтому их соударение будем рассматривать как упругое столкновение. Изменение импульса каждого из тел в процессе удара происходит в результате воздействия силы. Действующей на тело ударной силой будет реакция поверхности. Сила ударной реакции имеет нормальную (сила нормальной реакции) и касательную (сила трения) составляюшие. В отсутствие силы трения между шарами во время удара действуют только силы нормальной реакции, действующие на тела со стороны поверхностей. Сила нормальной реакции действует в точке соприкосновения шаров и направлена перпендикулярно ("по нормали") к поверхности соприкосновения (касательной плоскости). Так как центры шаров и точка соприкосновения лежат на одной линии, перпендикулярной касательной плоскости, проведенной через точку соприкосновения, то силы взаимодействия (силы нормальной реакции) направлены вдоль линии центров шаров. Рассмотрим случай нецентрального столкновения двух шаров, при котором векторы начальных скоростей $\overrightarrow{V_1}$, $\overrightarrow{V_2}$ не лежат на линии, соединяющей центры шаров. На данный момент рассмотрим систему без учета силы трения между шарами. В случае систем без трения ударный импульс направлен по нормали к поверхности (вдоль линии центров шаров). Следовательно, касательная (тангенциальная) составляющая скорости при ударе о поверхность без трения остается неизменной. При упругом ударе механическая энергия системы сохраняется (закон сохранения энергии - ЗСЭ). Для системы соударяющихся тел ударные силы (силы нормальной реакции) являются внутренними. Внешние силы (сила тяжести и сила реакции стола) в любой момент времени компенсируют друг друга. Для системы также применим закон сохранения импульса (ЗСИ).
Воспользуемся новой системой координат: ось OY - направлена по линии соударения (линии центров шаров), а ось OX - по тангенсной линии, перпендикулярной линии соударения. Вектор скорости каждого тела может быть разложен на две сосавляющие по координатным осям - $V_{\text{1y}}$, $V_{\text{1x}}$ и $V_{\text{2y}}$, $V_{\text{2x}}$. ($V_{\text{1y}}$, $V_{\text{2y}}$ - нормальные компоненты скоростей; $V_{\text{1x}}$, $V_{\text{2x}}$ - тангенциальные компоненты скоростей) Поскольку ударные силы (силы нормальной реакции) действует только по линии соударения (линии центров шаров - нормали к поверхности), то скорости вектора которых лежат на тангенсной линии (касательной к точке соприкосновения) - $V_{\text{1x}}$, $V_{\text{2x}}$ не изменяются. Таким образом задача упрощается и сводится к рассмотрению центрального удара шаров по линии центров с начальными скоростями - $V_{\text{1y}}$, $V_{\text{2y}}$.
Далее, воспользовавшись ЗСИ и ЗСЭ получаем систему из двух уравнений: $\{\begin{array}{c}{m}_1{V}_{\text{1y}}+m_2{V}_{\text{2y}}=m_1{U}_{\text{1y}}+m_2{U}_{\text{2y}}\\ \frac{m_1{V_{\text{1y}}}^2}{2}+\frac{m_2{V_{\text{2y}}}^2}{2}=\frac{m_1{U_{\text{1y}}}^2}{2}+\frac{m_2{U_{\text{2y}}}^2}{2}\end{array}$
На основании записанных равенств имеем: $$U_{\text{1y}}=\frac{(m_1-m_2)V_{\text{1y}}+2m_2{V}_{\text{2y}}}{(m_1+m_2)}$$ $$U_{\text{2y}}=\frac{(m_2-m_1)V_{\text{2y}}+2m_1{V}_{\text{1y}}}{(m_1+m_2)}$$ Если, в частности, соударяющиеся шары имеют одинаковые массы $m_1=m_2=m$, то $U_{\text{1y}}=V_{\text{2y}}$; $U_{\text{2y}}=V_{\text{1y}}$. В этом случае шары в результате удара "обмениваются" скоростями.
Если второй шар до удара покоился ($V_2=0$), то $U_{\text{1y}}=0$; $U_{\text{2y}}=V_{\text{1y}}$.
Если при $V_2=0$ будет выполняться условие $m_1<<m_2$ (при ударе шара о борт), то $U_{\text{1y}}\approx -V_{\text{1y}}$; $U_{\text{2y}}\approx 0$. В случае систем без трения ударный импульс направлен по нормали к поверхности. Тангенциальная составляющая скорости при ударе о поверхность без трения остается неизменной. Если бы силы нормальной реакции Fn, приложенные в точке соприкосновения поверхностей шаров были единственными силами взаимодействия возникающими при ударе, угол разлета между шарами был бы 90°, но во время удара также имеет место скольжение поверхности одного шара по поверхности другого, а значит возникнет и сила трения.
В реальности поверхность шаров не идеально гладкая, поэтому ударный импульс будет направлен не по нормали. При рассмотрении системы с трением нужно учитывать нормальную и касательную к поверхности составляющие ударного импульса. В этом случае учет трения сведется к тому, что сила с которой один шар действует на другой станет не перпендикулярна поверхности - у нее возникнет касательная компонента.

---

Рассмотрим частный случай нецентрального упругого удара - соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен (ПШ), а скорость второго (СШ) была направлена не по линии центров шаров. То есть классический удар в бильярде: удар битком по неподвижному прицельному шару на резке. После соударения ПШ и СШ начинают движение по прямой линии: ПШ - вдоль линии соударения (или с небольшим отклонением с учетом ЭОПШ), СШ - вдоль тангенсной линии. Дальнейшая траектория движения шаров будет зависеть от характера вращения шаров в момент соударения. Если шар не имеет вращения, то движение шара по прямой продолжится вплоть до полной остановки (раскрутка шара о сукно, качение): ПШ - вдоль линии соударения (мы рассматриваем удар по неподвижному ПШ, поэтому он не имеет вращения); если СШ не имеет вращения - вдоль тангенсной линии. Иная ситуация сложится если к моменту соударения на шаре (биток) будет сохранено прямое или обратное вращение. При ударе о другой шар биток передаст часть энергии поступательного движения ПШ, другая часть энергии поступательного движения останется на шаре, энергия вращения останется на шаре без изменений. Иными словами, линейная скорость вращения шара в опорной точке станет не коллинеарна поступательной скорости шара. Направление силы трения скольжения, возникающей от вращения шара вокруг горизонтальной оси, уже не совпадает с направлением поступательного движения и поэтому эта сила искривляет траекторию движения СШ, пока шар не перестанет скользить и не покатится по прямой в новом направлении. Сила трения, направленная противоположно скорости скольжения точки опоры шара, образует некоторый угол с направлением начального движения. Этот угол при движении шара остается постоянным, и принимая во внимание, что величина силы трения также постоянна, тогда: траектория шара должна быть, лежащей в горизонтальной плоскости, параболой, поскольку движение его происходит под действием единственной силы, постоянной по величине и направлению.
То есть если на шаре к моменту соударения сохранено вращение в вертикальной плоскости (верхнее(прямое)/нижнее(обратное)), то шар уйдет от тангенсной линии в сторону вращения (по дуге), но не сразу, а "проскользив" по тангенсной линии. Даже когда биток имеет верхнее или нижнее вращение, он все равно сначала пройдет некоторое расстояние вдоль тангенсной линии прежде чем пойти по дуге. В бильярде эта фаза движения называется отскоком. Отскок - начальный участок скользящего движения битка вдоль тангенсной линии (линии скольжения). Скользящее дуговое движение будет длиться пока не будет достигнуто естественное равновесие между поступательным движением и вращением (то есть когда скорости поступательного движения и вращения в точке контакта с поверхностью будут равны по модулю и противоположны по направлению), тогда скольжение прекратится и шар начнет катиться. В бильярде фаза скользящего движения битка после соударения с ПШ называется остаточным скольжением. Далее наступает фаза качения битка по прямой (финальное состояние) - касательной к траектории движения битка. В бильярде естественное качение битка за счет остаточного верхнего / нижнего вращения после соударения с ПШ называют прокаткой / откатом. Угол, который направление движения своего шара в финальном состоянии (качения) образует с направлением его движения до удара - называют угол финального отклонения.

---

Расмотрим скорости СШ сразу после соударения с ПШ.
Воспользуемся новой системой координат: ось OY - направлена по линии движения СШ до удара, ось OX - перпендикулярна ей. В результате соударения меняется модуль и направление поступательной скорости шара, линейная скорость вращения остется без изменений. Векторы скоростей и вектор ускорения не лежат на одной прямой. Вектор относительной скорости и, следовательно, вектор силы трения не меняют направления. Относительная скорость скольжения падает до нуля, и после этого остается равной нулю. То есть СШ в определенный момент времени начинает катиться без проскальзывания и продолжает катиться по прямой линии.
Сила трения противодействует скольжению и направлена против направления относительной скорости скольжения. Она не зависит от модуля относительной скорости скольжения, только от направления. Направление вектора относительной скорости не изменяется. Вектор силы трения и ускорения СШ являются постоянными по величине и направлению. Таким образом траектория битка будет параболической. Поступательное движение шара определяется двумя координатами x и y. Согласно принципу суперпозиции: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности. Таким образом скорость и ускорение раскладываются по проекциям на координатеые оси, и движение рассматривается по каждой из координатных осей в отдельности. x=x(t); y=y(t);
"Крутизна" дуги траектории СШ после соударения зависит от скоростей вращения относительно осей OX (${\omega }_x$ - накат/оттяжка), OY (${\omega }_y$ - массе) и поступательной скорости (точнее даже, от их соотношения). (Ось Y рассматриваем по направлению движения шара до соударения, ось X - перпендикулярно ей в горизонтальной плоскости, ось Z - вертикально вверх). $$x=x_0+V_{x_0}*t+\frac{a_x*t^2}{2}$$ $$y=y_0+V_{y_0}*t+\frac{a_y*t^2}{2}$$ где $V_{x_0}$, $V_{y_0}$ - проекции $\overrightarrow{V_{\text{п0}}}$ на соответствующие оси координат;
$V_{\text{п0}}$ - тангенциальная составляющая скорости после соударения.
$V_{\text{п0}}=V*\sin \left(\phi \right)$ (V - скорость шара до соударения, φ - угол резки)
➞ $V_{x_0}=V*\sin \left(\phi \right)*\cos \left(\phi \right)$; $V_{y_0}=V*\sin \left(\phi \right)*\sin \left(\phi \right)$
$a_x$, $a_y$- проекции $\overrightarrow{a}$ на соответствующие оси координат;
$a_x=-\mu *g*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$; $a_y=-\mu *g*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$;
$-\mu *g$ - ускорение поступательного движения шара.
$\cos \left(\alpha \right)=\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$; $\sin \left(\alpha \right)=\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$ (∠α - угол наклона $\overrightarrow{V_{{\text{отн}}_0}}$ к оси OX)
$V_x=V_{x_0}+a_x*t$; $V_y=V_{y_0}+a_y*t$; $V=\sqrt{{V_x}^2+{V_y}^2}$
$x=x_0+V_{x_0}*t-\left(\left(\frac{\mu *g}{2}\right)\right)*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)*t^2$
$y=y_0+V_{y_0}*t-\left(\left(\frac{\mu *g}{2}\right)\right)*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)*t^2$ $a_x=-\frac{5}{2}*\mu *g*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$; $a_y=-\frac{5}{2}*\mu *g*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$;
$-\frac{5}{2}*\mu *g$ - тангенциальное ускорение вращательного движения шара.
$\cos \left(\alpha \right)=\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$; $\sin \left(\alpha \right)=\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$ (∠α - угол наклона $\overrightarrow{V_{{\text{отн}}_0}}$ к оси OX)
$R*{\omega }_y=R*{\omega }_{y_0}+a_x*t$; $R*{\omega }_x=R*{\omega }_{x_0}+a_y*t$ $V_{{\mathrm{отн}}_0}=\sqrt{{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}^2+{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}^2}$
$V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}$ - проекция скорости $V_{{\mathrm{отн}}_0}\text{- на ось OX}$;
$V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}$ - проекция скорости $V_{{\mathrm{отн}}_0}\text{- на ось OY}$;
$V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}=V_{x_0}-R*{\omega }_{y_0}$; $V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}=V_{y_0}+R*{\omega }_{x_0}$;
где $R{\omega }_{x_0}$- линейная скорость вращения относительно оси OX; $R{\omega }_{y_0}$- линейная скорость вращения относительно оси OY;
время скольжения - $\frac{2}{7}*\left(\frac{V_{{\mathrm{отн}}_0}}{\mu *g}\right)$

---

Графиком квадратичной функции является парабола. Форма параболы определяется ее старшим коэффициентом (при квадратном члене), остальные (второй коэффициент) отвечают за расположение параболы на координатной плоскости. Старший коэффициент параболы отвечает за ее "крутизну": чем больше модуль старшего коэффициента, тем парабола уже (круче), а чем меньше - тем парабола шире (более пологая). Старшие коэффициенты: $\left(\left(\frac{\mu *g}{2}\right)\right)*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_x}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$; $\left(\left(\frac{\mu *g}{2}\right)\right)*\left(\left(\frac{V_{{{\mathrm{отн}}_0}_y}}{V_{{\mathrm{отн}}_0}}\right)\right)$

---

Рассмотрим три случая: 1) Плоский удар В момент удара СШ не имеет вращения в вертикальной плоскости (верхнее/нижнее вращение и/или вращение массе), то есть находится в фазе чистого скольжения. Такое состояние возможно при ударе в центр шара, когда расстояние между СШ и ПШ таково, что сила трения скольжения не успевает придать битку прямое вращение. Второй вариант - удар ниже центра шара, когда расстояние между СШ и ПШ таково, что сила трения скольжения уже успела замедлить обратное вращение до 0, но пока еще не успела придать битку прямое вращение. При таком ударе траектория движения СШ будет точно совпадать с тангенсной линией. Такой удар в бильярде называют - плоский удар. Плоский удар - удар на резке (φ≠0), при котором в момент соударения битка с ПШ биток не имеет вращения в вертикальной плоскости. После соударения биток будет двигаться вдоль "тангенсной" линии. Если бы не было резки (φ=0) - при таком же ударе получилась бы остановка. Разновидность плоского удара - клапштос (удар с остановкой битка), то есть удар в лоб ПШ не на резке (φ=0): биток, сталкиваясь с ПШ, пердает всю свою энергию (V*cos(0)=V) и моментально останавливается (V*sin(0)=0).
Пока шар перемещается относительно поверхности, на него действует сила трения, постоянная по модулю и направлению. Ускорение, сообщаемое телу силой трения постоянно. $a_{\text{вр}}=\text{const}$ - тангенциальное ускорение вращательного движения; $a\text{п}=\mu g=\text{const}$ - ускорение поступательного движения.
Изменение скорости как вращательного, так и поступательного движения происходит в каждый момент времени до полной остановки шара. Поэтому период времени, когда шар не имеет вращения ($V_{\text{вр}}=0$) - это момент времени перехода от нижнего (обратного) вращения к верхнему (прямому) вращению. То есть удар наносится ниже центра битка. Сила удара и глубина нижнего винта подбираются в таком сочетании, чтобы к моменту соударения битка с ПШ обратное вращение битка полностью "стерлось" о сукно. Зона плоского удара - биток утрачивает нижнее вращение и не успевает приобрести верхнего вращения.
Возможен и удар в центр битка. Зона плоского удара - биток не успевает приобрести верхнего вращения (раскрутиться о сукно). Конечно, небольшое количество верхнего вращения биток будет иметь к моменту соударения, но это не окажет существенного влияния на движение битка после соударения (margin of error - предел погрешности).
Здесь при планировании удара ключевым фактором является скорость, передаваемая ПШ в момент соударения. Если есть необходимость снизить скорость битка перед соударением с ПШ, тогда наносится удар ниже центра битка. Причем точку и силу удара подбирают таким образом, чтобы к моменту соударения с ПШ биток утратил нижнее вращение и не успел набрать верхнее вращение и при этом к моменту соударения имел желаемую поступательную скорость.
В бильярде такие удары известны как тормозящие удары ("drag shot"). Тормозящая оттяжка ("drag draw") - тормозящий удар, в результате которого при соударении с ПШ биток имеет некоторое (небольшое) остаточное нижнее вращение, приводящее к слабой оттяжке.
Тормозящий накат ("drag follow") - тормозящий удар, после которого движущийся биток сначала утрачивает нижнее вращение (за счет действия силы трения скольжения), а к моменту соударения с ПШ приобретает небольшое верхнее вращение.
Если нет необходимости снижать скорость битка перед соударением с ПШ, то для плоского удара наносится сильный удар в центр шара. И шар за время скольжения до соударения с ПШ не успевает раскрутиться о сукно. Важным фактором является расстояние до ПШ: чем больше это расстояние, тем ниже и/или сильнее нужно ударить, чтобы предотвратить преждевременную раскрутку битка до соударения с ПШ.
Соответственно, если удар осуществляется не на резке (φ=0) - лобовой плоский удар, то биток останавливается сразу же после лобового соударения с ПШ. Различают плотную и мягкую остановку. При плотной остановке наносится достаточно сильный удар по центру (или чуть ниже) битка в расчете на то, биток не успеет раскрутиться о сукно и вплоть до соударения сохранит скользящее поступательное движение. ПШ при этом сообщается максимальная поступательная скорость.
При выполнении мягкой остановки по битку наносится практически такой же удар, как и при оттяжке, (ниже центра). Силу удара, однако, рассчитывают таким образом, чтобы за счет трения о сукно биток утратил приданное ему нижнее вращение к моменту соударения с ПШ, не раньше и не позже. 2) Накат В момент соударения с прицельным шаром СШ (биток) находится в состоянии верхнего (прямого) вращения, приданного (в случае удара кием выше центра шара) или приобретенного (за счет раскрутки о сукно). Такой удар в бильярде называется накат. Накат - удар, в результате которого к моменту соударения с ПШ сохранено верхнее вращение СШ. В зависимости от соотношения скорости вращения к скорости поступательного движения различают естественный и скользящий накат. При естественном накате биток подходит к ПШ в состоянии естественного качения, для которого характерно равновесное соотношение поступательного и вращательного движения. При скользящем накате это соотношение модулей скоростей поступательного и вращательного движения отлично от единицы. Скользящий накат допускает различное сочетание остаточного поступательного и вращательного движения. 3) Оттяжка В момент соударения с прицельным шаром СШ (биток) находится в состоянии обратного вращения, приданного шару вследствие удара кием ниже центра шара. Такой удар в бильярде называется оттяжка. Механизм искривления траектории при оттяжке тот же самый, что и при накате только меняется направление ветвей параболы и увеличивается ее "крутизна". СШ начинает движение по тангенсной линии, затем продолжает движение по дуговой (параболической) траектории пока не будет достигнуто естественное равновесие между поступательным движением и вращением и, затем, переходит в финальное состояние качения по прямой, касательной к дуге.
При выполнении оттяжки важно не допустить преждевременной раскрутки битка о сукно. В случае оттяжки обратное вращение теряется довольно быстро за счет скольжения по сукну.

---

Здесь мы рассмотрели случаи, когда на шаре в момент соударения сохранено прямое (верхнее) или (обратное) нижнее вращение, то есть когда удар кием был нанесен в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара. В случаях когда вертикальная плоскость удара кия по битку не проходит через центр шара, то есть удар приходится на боковые части поверхности шара относительно центральной оси, то такой шар также имеет вращение вокруг вертикальной оси и в момент соударения СШ помимо верхнего или нижнего вращения может также иметь боковое вращение. 3. Боковые удары (боковой винт) Боковой удар - удар кием по битку вправо или влево от центра. При смещении вправо/влево в результате действия силы со стороны кия возникнет вращающий момент, приводящий к вращению битка против часовой стрелки/по часовой стрелке вокруг вертикальной оси – "правый винт"/"левый винт". При ударе горизонтальным кием правее или левее центра шар начинает скользить, вращаясь вокруг вертикальной оси Z. Под действием силы трения скольжения начинается раскрутка шара о сукно, то есть шар начинает вращаться вокруг оси X (ось Y идет по направлению движения шара), увеличивая свои обороты. То есть происходит вращение шара вокруг двух осей (X,Z) одновременно. Практически шар вращается вокруг наклонной оси; при этом ось вращения находится в плоскости, образуемой осями X и Z. Сразу после удара ось вращения совпадает с осью Z. В дальнейшем с увеличением скорости вращения (верхнего вращения - вокруг оси X), вызванного силой трения скольжения ось вращения наклоняется в сторону оси X. С момента когда опорная точка будет иметь нулевую относительную скорость скольжения шар начинает катиться. При качении ось вращения (в плоскости XZ) стабилизируется в наклонном положении. Отношение скорости вращения шара к скорости поступательного движения при качении прямо пропорционально наклону оси вращения от горизонтали. Чем больше наклон оси вращения битка, тем большая часть энергии удара была затрачена на придание шару вращения и, следовательно, тем меньшая часть энергии удара была затрачена на придание шару скорости поступательного движения.
При ударе горизонтальным кием в промежуточные точки (т.е. вправо/влево + вверх/вниз), шар движется поступательно, сразу начиная вращаться вокруг наклонной оси, перпендикулярной к плоскости, в которой происходит движение.
При ударе наклонным кием правее или левее центра у шара добавляется дополнительное вращение вокруг оси в направлении удара (оси Y). Таким образом, в момент удара биток приобретает помимо поступательной скорости некоторое вращение относительно наклонной оси и начинает скользить по сукну. Причем, ось не перпендикулярна направлению поступательного движения. Это вращение можно рассматривать как комбинацию нижнего (обратного) вращения вокруг горизонтальной оси (оси X) (или верхнего (прямого) - в случае когда направление ударного импульса проходит выше центра шара), бокового вращения относительно вертикальной оси (оси Z) и вращения относительно продольной горизонтальной оси, расположенной по направлению поступательного движения (оси Y). Трение скольжения направлено под углом направлению поступательного движения шара, что приводит к искривлению траектории. В общем виде картина бокового удара выглядит следующим образом:

В момент удара СШ (биток) приобретает помимо поступательной скорости некоторое вращение вокруг вертикальной оси и начинает скользить по сукну.
Дальнейшая траектория СШ зависит от того удар нанесен горизонтальным кием, то есть в плоскости параллельной поверхности стола, или удар нанесен наклонным кием, то есть имеющий некоторый наклон к плоскости стола (приподнятый турник).
• Если удар нанесен горизонтальным кием - СШ пойдет в направлении линии удара (по направлению кия) с небольшим угловым смещением. Рис.1 - Траектория 1 Снос (squirt) — угловое смещение траектории битка относительно направления ударного импульса.
При ударе кием по бильярдному шару процесс передачи импульса от движущегося кия к неподвижному шару начинается в момент их соприкосновения. Сила ударной реакции имеет нормальную и касательную составляющие. Полная сила взаимодействия соударяющихся тел состоит из силы нормальной реакции (нормальная составляющая) и силы трения (касательная составляющая), которая лежит в касательной плоскости. Поэтому линия действия сил (результирующей силы) не перпендикулярна плоскости соприкосновения и тела начинают вращаться. Результирующая этих двух сил и определяет величину и направление скорости шара. Если в случае соударения двух шаров сила трения между шарами незначительна, поэтому отклонение траектории ПШ от линии соударения (линии, проходящей через центры масс) будет минимальным. В случае удара кием по битку сила трения в разы больше; результирующая этих двух сил будет направлена в направлении движения кия с небольшим угловым смещением (как правило около 2-4 градусов). Это смещение вызвано тем, что осевой момент инерции мешает кию после соударения отойти от битка в сторону и сопровождает короткое время биток. Это сопровождение тормозит раскручивание битка и сдвигает его траекторию.
Угловое смещение СШ: 𝛂 = 𝒇(b,m)
b - расстояние от точки удара до центральной вертикальной оси (плечо силы)
m = m_шара/m_{концевая масса шафта} (Шафт - верхняя часть кия)
m_{концевая масса шафта} (end mass)- эффективная масса конца шафта, величина массы, сосредоточенной на конце шафта кия, которая способствует эффекту сноса битка.
Угловое смещение в основном зависит от количества бокового винта (точка удара на шаре) и, в меньшей степени, от используемого кия.
1) Угловое смещение возрастает с увеличением бокового вращения. Чем дальше точка удара от центра - тем больше угол отклонения СШ.
2) Угловое смещение зависит от кия. Кии бывают с большим или меньшим сносом взависимости от ряда технических параметров.
3) Угловое смещение не зависит от силы удара. Но на большей дистанции расхождение лучей угла увеличивается, поэтому смещение от линии удара возрастает.
Если принимать во внимание только эффект углового смещения битка при боковых ударах (т.е. ударах горизониальным кием), то можно использовать способ прицеливания с поворотом кия. Способ заключается в том, что при прицеливании кий первоначально направляется в центр битка, а затем поворачивается, чтобы достичь требуемой глубины винта, что позволит компенсировать снос битка.
• Если удар нанесен наклонным кием - СШ пойдет по дуговой траектории. Рис.1 - Траектория 2
Траектория движения шара (прямая или дуга) зависит от распределения момента силы между осями вращения. Момент силы относительно оси (М) – векторная величина, характеризующая меру вращательного действия силы.
Возьмем в центре шара начало прямоугольной системы координат и примем за ось OY - прямую параллельную скорости поступательного движения шара. (В данном случае противоположно движению шара) Ось OX - прямая перпендикулярная ей в горизонтальной плоскости. (В данном случае правая система координат) Ось OZ - прямая перпендикулярная ей в вертикальной плоскости.
Вращение шара вокруг вертикальной оси (OZ) на движение шара влияние не оказывает. Шар вращается в горизонтальной плоскости (параллельной столу) вокруг вертикальной оси. Вращение шара вокруг оси OX увеличивает или уменьшает скорость поступательного движения. Возникающая сила трения скольжения от вращения шара направлена вдоль прямой поступательного движения шара. Взависимости от направления вращения и соотношения линейной скорости вращения и скорости поступательного движения сила трения в точке контакта шара с сукном сонаправлена или противоположно направлена скорости поступательного движения, тем самым ускоряя или замедляя поступательное движение шара. Направление движения шара при этом не изменяется. Вращение шара вокруг оси OY - отклоняет шар от линии удара: шар вначале опишет часть параболы за время скольжения, после чего он перейдет в финальное состояние качения, следуя по касательной к этой прямой. Возникающая сила трения скольжения от вращения шара не совпадает по направлению с поступательным движением шара (перпендикулярна этому направлению), что и приводит к отклонению шара. То есть фактор определяющим искривление траектории шара - вращение вокруг оси OY. То есть момент силы относительно оси OY должен быть отличным от нуля. Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело относительно данной оси. По своему значению момент силы относительно оси равен произведению проекции этой силы на плоскость перпендикулярную к данной оси, на плечо (М=F*h). Плечо силы относительно оси - это перпендикуляр опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции.
F_xy F_xz F_zy h ↻ ↺ ↺ M_x M_y M_z
M_x(F)=⁺_-F_zy*h M_y(F)=⁺_-F_xz*h M_z(F)=⁺_-F_xy*h Для определения знака момента силы выбирается положительное направление вращения относительно оси (против часовой стрелки). Знак момента силы положителен, если сила стремится вызвать поворот тела против часовой стрелки, и отрицателен в обратном случае.
F_xy F_xz F_zy h ↻ ↺ ↺ M_x M_y M_z
M_x(F)=⁺_-F_zy*h M_y(F)=⁺_-F_xz*h; ➞ F_xz=0; M_y(F)=0 M_z(F)=⁺_-F_xy*h
F_xy F_xz F_zy h ↻ ↺ ↺ M_x M_y M_z
M_x(F)=⁺_-F_zy*h M_y(F)=⁺_-F_xz*h; ➞ h=0; M_y(F)=0 M_z(F)=⁺_-F_xy*h; ➞ h=0; M_z(F)=0
M_x - верхнее/нижнее вращение
M_y - вращение массе
M_z - боковое вращение
Таким образом, шар пойдет по прямой линии в направлении кия (или с небольшим угловым отклонением в случае бокового удара) в случае удара горизонтальным кием (рис.2) или в том случае, когда вертикальная плоскость удара будет проходить через центр шара (рис.3). Шар будет двигаться криволинейно всякий раз, когда кий не будет горизонтальным и вертикальная плоскость удара не будет проходить через центр шара (рис.1). Иными словами, при любом ударе правее или левее центра шара наклонным кием. В фазе скольжения шара шар пойдет по дуге (параболе), а в финальной фазе (качения) - по прямой (касательной к этой параболе).
При ударе наклонным кием если ось кия проходит выше центра масс шара, то шар получает верхнее вращение (накат), если ниже - нижнее вращение (оттяжка).

Верхнее вращение

Нижнее вращение

- Чем больше вращение относительно оси OY, тем больше боковая составляющая во вращении битка, тем больше будет выражен эффект искривления траектории шара.
Чем дальше от центра точка удара вправо или влево, тем больше момент силы по оси OY (увеличивается плечо силы).

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

Чем больше наклон кия, тем больше момент силы по оси OY (увеличивается проекция силы).

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

Чем больше сила удара, тем дольше фаза скольжения, тем длиннее будет дуга параболы.

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=3.5\text{м/c}$

Чем больше сила удара, тем дальше шар пройдет по прямой в направлении линии удара перед тем как траектория начнет искривляться.

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=1.5\text{м/c}$

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=3\text{м/c}$

Верхнее вращение на шаре (накат) делает траекторию более пологой, нижнее вращение делает траекторию более крутой.

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=3\text{м/c}$

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=3\text{м/c}$

Максимальный эффект дуговой траектории можно получить при прочих равных условиях (наклон кия и сила удара) при ударе в эту точку

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=3\text{м/c}$

---
Наклон кия 50° $V_{\mathrm{o}}=3\text{м/c}$
Эффект искривления траектории вследствии подъема кия при ударах с боковым вращением необходимо всегда учитвыть при исполнении боковиков, так как нанести удар абсолютно горизонтальным кием крайне сложно, учитывая что высота бортов превышает радиус шара. Регулируя количество бокового вращения (точка удара), наклон кия и силу удара можно задать практически любую дуговую траекторию. Но здесь есть ограничения: точка удара ограничена зоной кикса (0.5R), а наклон кия и сила удара увеличивают вертикальную составляющую силы, вследствие чего шар может оторваться от поверхности. Под действием вертикальной составляющей силы происходит взаимодействие между шаром и поверхностью стола. Если сила со стороны поверхности с учетом коэффициента упругости (менее 0.4) больше силы тяжести шара, он при ударе подпрыгнет. В бильярде есть такой специальный удар перескок. Перескок (джамп) – это такой удар, при котором биток, перескочив через лишний шар, который маскирует сыгрываемый, ударяет этот последний и направляет его в лузу. Но джамп удар исполняют так, чтобы вертикальная плоскость удара проходила через центр шара как-раз для того, чтобы шар не отклонялся в сторону при ударе. Удар сильно наклоненным кием с применением бокового вращения известен как удар Массе. Смысл данного удара в том, что шар идёт по дуге за счёт сильного поперечного вращения. Для джамп ударов и ударов массе есть специальные кии для того, чтобы было легче исполнять такие удары и свести к минимуму нежелательные эффекты.

---

Таким образом, при ударе горизонтальным кием шар пойдет по прямой в направлении кия с небольшим угловым отклонением, которое будет возрастать с увеличением дистанции. При ударе наклонным кием влево/вправо от центра шар начнет движение в направлении кия с небольшим угловым отклонением, но потом трение скольжения от вращения относительно оси OY, расположенной по направлению поступательного движения начнет отклонять его траекторию в сторону примененного бокового винта. Когда будет достигнуто равновесие между поступательным движением и вращением шар перейдет в финальное состояние качения и будет двигаться по прямой (касательной к дуге).

---
Наклон кия 0° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$

---
Наклон кия 15° $V_{\mathrm{o}}=2.5\text{м/c}$
• Следующий эффект, который надо учитывать при исполнении бокового винта - отброс ПШ ("бросок").
  Боковой винт может отбросить ПШ с ожидаемой линии столкновения шаров (линии соударения). Это тот же самый эффект, что и ЭОПШ (эффект отклонения ПШ) на резке. Оба броска возникают в результате относительного бокового трения между битком и ПШ. Разница в том, что в случае "броска" на резке ПШ отбрасывается в определенном направлении - в направлении движения битка. В случае "броска", вызванного боковым винтом можно варьировать направлением: в зависимости от направления и глубины винта. Эти два эффекта могут полностью компенсировать друг друга, или,наоборот, усиливать - "бросок" становится более выраженным.
Рассмотрим столкновение двух шаров (СШ и ПШ), один из которых (ПШ) покоился. Биток (СШ) к моменту соударения с ПШ имеет следующие характеристики:
$V$ - поступательная скорость движения,
${\omega }_{\text{x}}R$ - линейная скорость вращения относительно оси OX (накат/оттяжка),
${\omega }_{\text{z}}R$ - линейная скорость вращения относительно оси OZ (боковое вращение),
φ - угол между линией соударения (нормаль) и направлением движения битка до соударения - угол резки.
ось OY - по направлению движения битка, ось OX - перпендикулярно ей, ось OZ вертикально вверх.
---
В случае соударения шаров есть две плоскости, касательные к поверхности шаров. Касательная плоскость №1 - плоскость разделяющая два шара при соударении. Касательная плоскость №2 - плоскость разделяющая шар и поверхность стола.
В данном анализе трением о сукно в точках опоры шаров (т.е. в касательной плоскости №2) можно пренебречь. ${\omega }_{\text{y}}R$ - вращение массе - не повлияет на оставшуюся часть анализа.
В результате взаимодействия шары обмениваются импульсами вдоль линии соударения (общей нормали) под действием силы нормальной реакции. При нецентральном столкновении у силы реакции есть перпендикулярная составляющая - это сила трения, которая создает вращающий момент (относительно оси OZ) и приводит к закручиванию шаров. Происходит скольжение между точками соприкосновения.
Вектор скорости раскладывается на две компоненты: одна по общей нормали поверхности сталкивающихся тел в точке контакта (нормальная составляющая - перпендикулярно касательной плоскости), а другая перпендикулярно нормали, направленная по касательной к поверхности (тангенциальная составляющая - лежащая в касательной плоскости). Касательная плоскость №1 (между шарами) Касательная плоскость - плоскость разделяющая два шара при соударении, т.е. имеющая с каждым шаром только одну общую точку
Проекции поступательной скорости на нормаль и касательную:
$V\cos \left(\phi \right)$ - нормальная составляющая поступательной скорости,
$V\sin \left(\phi \right)$ - тангенциальная составляющая поступательной скорости.
Аналогично вращательное движение относительно оси OX (накат/оттяжка) можно разложить на два вращательных движения, оси которых перпендикулярны друг другу - вращение вокруг нормали и касательной.
Проекции угловой скорости на нормаль и касательную:
${\omega }_{\text{x}}\sin \left(\phi \right)$ - угловая скорость вращения вокруг оси направленной по нормали,
${\omega }_{\text{x}}R\sin \left(\phi \right)$ - линейная скорость вращения (в точке касания);
${\omega }_{\text{x}}\cos \left(\phi \right)$ - угловая скорость вращения вокруг оси направленной по касательной.
${\omega }_{\text{x}}R\cos \left(\phi \right)$ - линейная скорость вращения (в точке касания).
Вращение относительно оси OZ (${\omega }_{\text{z}}$: боковое вращение) не изменится, так как ось вращения параллельна касательной плоскости.
Вращение вокруг нормали (${\omega }_{\text{x}}\sin \left(\phi \right)$) не будет учитываться при анализе, так как ось вращения (нормаль) перпендикулярна касательной плоскости (так же как и боковое вращение не учитывается при движении шара по сукну).
1. За время соударения Δt сила нормальной реакции меняет нормальную компоненту импульса каждого шара на $\Delta p_{\text{норм}}$.
   $\Delta p_{\text{норм}}=mV\cos \left(\phi \right)$ (по нормали шары обмениваются импульсами друг с другом)
2. Сила трения, пропорциональная по модулю силе реакции в каждый момент времени изменит тангенциальную компоненту импульса каждого шара на $\Delta p_{\text{тан}}$.
   $\Delta p_{\text{тан}}=\mu \Delta p_{\text{норм}}=\mu mV\cos \left(\phi \right)$, где µ - коэффициент трения скольжения между поверхностями шаров (≈0.03-0.06)
Здесь надо учесть два фактора:
1. Первый фактор - угол скольжения
- Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости относительного движения соприкасающихся тел. Вектор скорости относительного скольжения лежит в касательной плоскости и равен геометрической сумме векторов скорости поступательного и вращательного движений точки контакта шаров.
Таким образом, наличие верхнего/нижнего вращения (накат/оттяжка) обеспечивает вертикальную составляющую силы трения между шарами, а значит уменьшает ее горизонтальную составляющую. Касательная плоскость №1 (между шарами) Горизонтальная (тангенциальная) составляющая относительной скорости шара в точке контакта шаров: $V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z$
(Направление тангенциальной составляющая относительной скорости не изменяется в течение всего времени столкновения)

---

Вертикальная составляющая относительной скорости шара в точке контакта шаров: $R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)$

---

Относительная скорость скольжения шара в точке контакта шаров: $V_{\text{отн}}=\sqrt{{(V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z)}^2+{\left(R{\omega }_x\cos \right(\phi \left)\right)}^2}$

---

Угол скольжения - относительная скорость скольжения шара направлена под углом ∠α к касательной: $\angle \alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)}{(V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z)}\right)$

---

Горизонтальная (тангенциальная) составляющая импульса силы трения: $\left(\mu mV\cos \left(\phi \right)\right)\cos \left(\alpha \right)=\left(\mu mV\cos \left(\phi \right)\right)*\frac{V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z}{\sqrt{{\left(V\sin \right(\phi )-R{\omega }_z)}^2+{\left(R{\omega }_x\cos \right(\phi \left)\right)}^2}}$

---

Вертикальная составляющая импульса силы трения: $\left(\mu mV\cos \left(\phi \right)\right)\sin \left(\alpha \right)=\left(\mu mV\cos \left(\phi \right)\right)*\frac{R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)}{\sqrt{{\left(V\sin \right(\phi )-R{\omega }_z)}^2+{\left(R{\omega }_x\cos \right(\phi \left)\right)}^2}}$

---

Касательная плоскость №2 (между шаром и столом) Трение шара в точке контакта с сукном вследствие вертикальной составляющей силы трения во время удара не играют существенной роли.
2. Второй фактор - возможность обращения в нуль тангенциальной составляющей относительной скорости во время столкновения.
Сила трения действует на шары, пока у шаров есть ненулевая компонента скорости. Условие прекращения скольжения за время удара: тангенциальная относительная скорость должна обратиться в нуль до конца столкновения. В этом случае относительное движение тел в точке контакта прекращается, а сила трения скольжения перестает действовать, шары начинают катиться друг относительно друга. Ситуация схожа с движением шара по поверхности стола: шар начинает скользить по сукну, проскальзывание шара постепенно уменьшается и наступает фаза качения шара; либо шар может сразу перейти к качению (если скорости поступательного движения и вращения в точке контакта равны по модулю и противоположно направлены). То есть, если к моменту соударения $V\sin \left(\phi \right)=R{\omega }_z$ и $\mathrm{sign}\left(V\sin \right(\phi \left)\right)\ne \mathrm{sign}\left(R{\omega }_z\right)$, то шары во время удара будут катиться друг относительно друга.
Финальная скорость шара (т.е скорость когда шар начинает катиться - $V_{\text{пер}}$) образуется на $\frac{5}{7}$ от вектора начальной поступательной скорости ($V\sin \left(\phi \right)$) в направлении тангенсной линии и на $\frac{2}{7}$ от вектора начальной скорости вращения ($R{\omega }_z$).
С учетом направления осей: $V_{\text{пер}}=\frac{5}{7}V\sin \left(\phi \right)+\frac{2}{7}R{\omega }_z$
Начальная поступательная скорость шара: $V\sin \left(\phi \right)$
Таким образом разница между начальной и финальной скоростью (если бы шар скользил по неподвижной поверхности): $V\sin \left(\phi \right)-\left(\frac{5}{7}V\sin \left(\phi \right)+\frac{2}{7}R{\omega }_z\right)=\frac{2}{7}V\sin \left(\phi \right)-\frac{2}{7}R{\omega }_z$
Согласно третьему закону Ньютона - когда одно тело оказывает силу на другое тело, второе тело одновременно оказывает равную по величине и противоположно направленную силу на первое тело. Будучи приложенными к разным телам, эти силы не уравновешиваются.
Поэтому ПШ также начинает вращаться и скользить относительно поверхности СШ под действием силы трения, только противоположно направленной.
Так как силы трения равны по модулю, то изменение тангенциального импульса будет одинаковым для обоих шаров.
$\Delta p_{\text{тан}}=m\left(\frac{\frac{2}{7}V\sin \left(\phi \right)-\frac{2}{7}R{\omega }_z}{2}\right)=m\left(\frac{1}{7}V\sin \left(\phi \right)-\frac{1}{7}R{\omega }_z\right)$
- в случае, если за время столкновения тангенциальная составляющей относительной скорости обратится в нуль
Таким образом, возможны два вида контакта: скользяще-сцепляющийся контакт и контакт с чистым скольжением.
Если в процессе удара силы трения не успевают остановить проскальзывание, то в течение всего времени удара (△t) скольжение не прекращается ➞ контакт с чистым скольжением.
Изменение тангенциального импульса:
$\Delta p_{\text{тан}}=\left(\mu mV\cos \left(\phi \right)\right)*\frac{V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z}{\sqrt{{\left(V\sin \right(\phi )-R{\omega }_z)}^2+{\left(R{\omega }_x\cos \right(\phi \left)\right)}^2}}$
В ином случае в течение времени удара (△t) скольжение прекращается и шар начинает катиться ➞ скользяще-сцепляющийся контакт.
Изменение тангенциального импульса:
$\Delta p_{\text{тан}}=m\left(\frac{1}{7}V\sin \left(\phi \right)-\frac{1}{7}R{\omega }_z\right)$
Таким образом, ➞

• Тангенциальная составляющая скорости ПШ после соударения:
$V_{{\text{ПШ}}_{\text{тан}}}=\min \left(\frac{\mu *V*\cos \left(\phi \right)}{\sqrt{{\left(V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z\right)}^2+{\left(R*{\omega }_x*\cos \left(\phi \right)\right)}^2}}\text{,}\mathrm{1/7}\right)*\left(V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z\right)$
• Нормальная составляющая скорости ПШ после соударения:
$V_{{\text{ПШ}}_{\text{норм}}}=V\cos \left(\phi \right)$
ПШ движется в направлении равнодействующей, получаемой геометрическим сложением тангенциальной и нормальной составляющих скоростей.
Угол отброса ПШ (от линии соударения - нормали): ${\tan }^{-1}\left(\frac{V_{{\text{ПШ}}_{\text{тан}}}}{V_{{\text{ПШ}}_{\text{норм}}}}\right)$

←
СШ
ПШ
$V_{\text{СШ}}$
$V_{\text{ПШ}}=0$
←
↑
⟲
⟳
z
$V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z$
$R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)$
$V_{\text{отн}}$
$F_{\text{тр}}$
Переспектива: ➤ ➤
$V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z>0$
---
$R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)>0$(оттяжка)
---
$R{\omega }_z<0$(левый боковик) $V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z<0$
---
$R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)>0$(оттяжка)
---
$R{\omega }_z>0$(правый боковик) $V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z<0$
---
$R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)<0$(накат)
---
$R{\omega }_z>0$(правый боковик) $V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z>0$
---
$R{\omega }_x\cos \left(\phi \right)<0$(накат)
---
$R{\omega }_z<0$(левый боковик)
$\cos \left(\alpha \right)=\frac{V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z}{\sqrt{{(V*\sin (\phi )-R*{\omega }_z)}^2+{(R*{\omega }_x*\cos (\phi \left)\right)}^2}}$
➞
Выражение $V\sin \left(\phi \right)-R{\omega }_z$ определяет направление тангенциальной составляющей силы трения, а значит и направление отброса ПШ. В случае броска ПШ, вызванного резкой ($R{\omega }_z=0$) направление отброса ПШ определено направлением удара. Угол резки (φ) изменяется в пределах от -π/2 до π/2.
➞ $V*\sin \left(\phi \right)$ > 0 при φ от 0 до π/2; $V*\sin \left(\phi \right)$ < 0 при φ от -π/2 до 0;
(Угол резки - угол между вектором поступательной скорости битка непосредственно перед соударением (линия прицеливания) и центральной линией соударения шаров (линия соударения).
Положительный угол: если угол идет против часовой стрелки, то он называется положительным углом. Отрицательный угол: если угол направлен по часовой стрелке, то он называется отрицательным углом.)
Линия прицеливания
Линия соударения
Линия прицеливания
Линия соударения
В случае применения бокового винта ($R{\omega }_z!=0$) это направление можно менять - если $(V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z)$ меняет знак.
В бильярде используются понятия внешний винт и внутренний винт.
Внешний винт - боковое вращение битка в сторону противоположную той, в которую срезается прицельный шар ($V*\sin \left(\phi \right)$ и $R*{\omega }_z$ разного знака).
Внутренний винт - боковое вращение битка в ту же сторону, куда срезается прицельный шар ($V*\sin \left(\phi \right)$ и $R*{\omega }_z$ одного знака).
Бросок можно полностью компенсировать внешним винтом - если $(V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z)=0$.
Сцепляющее внешнее боковое вращение (gearing) - интенсивность внешнего бокового вращения, необходимая для устранения проскальзывания между поверхностями битка и ПШ во время их контакта.
То есть при таком ударе линейная скорость вращения ($R{\omega }_z$) в точке касания будет равна по модулю и противоположно направлена поступательной скорости ($V*\sin \left(\phi \right)$), что является условием качения шаров. Относительная скорость между точками соударения ($V_{\text{отн}}$) будет равна нулю, трение скольжения не возникает, биток сразу начинает катиться по ПШ во время взаимодействия шаров - в силу чего эффект отброса ПШ не прявляется. При отсутствии проскальзывания биток и ПШ взаимодействуют подобно зацепленным шестерням (gearing).
Рассмотрим ситуацию, когда внешний винт полностью компенсирует бросок, вызванный резкой.
$(V*\sin \left(\phi \right)-R*{\omega }_z)=0$ ➞ $\frac{R*{\omega }_z}{V}=\sin \left(\phi \right)$
Соотношение количества винта (линейной скорости вращения) и поступательной скорости в момент удара горизонтальным кием:
$\frac{R*{\omega }_z}{V}=\frac{5}{2}*\frac{a}{R}$ ➞ $a=\frac{2}{5}*R*\sin \left(\phi \right)$, где a - расстояние от центра шара до точки удара.
Таким образом, видно что это расстояние напрямую зависит от угла резки. Для того, чтобы его визуально определить есть "Правило 40%". "Правило 40%" Правило 40% - правило, позволяющее при заданном угле резки судить о том, какое необходимо боковое смещение наклейки от центра шара, чтобы придать ему такое внешнее боковое вращение, при котором в точке контакта битка и ПШ не будет относительного перемещения поверхности, и, соответственно, не будет проскальзывания.
Нужно мысленно представить линию соударения, провести ее через центр битка. Нужная точка будет лежать на расстояниии чуть меньше половины (40%) от линии соударения до линии проходящей через центр битка горизонтально поверхности.
Изменение тангенциального импульса за время удара отклоняет траекторию ПШ. Горизонтальная составляющая силы трения между шарами направлена вдоль тангенсной линии - линии движения битка, поэтому начальное направление отскока битка не меняется: биток по-прежнему пойдет вдоль тангенсной линии вначале своего движения. Если импульс силы трения сонаправлен с поступательной скоростью битка, то биток получает ускоряющий попутный импульс - бегущий винт. Если импульс силы трения противоположно направлен с поступательной скоростью битка, то биток получает тормозящий импульс - обратный винт.
Если биток имеет только боковой винт, после взаимодействия с ПШ он пойдет вдоль тангенсной линии. Дуговая траектория возможна лишь при наличии на шаре верхнего/нижнего вращения.
При обратном винте уменьшается поступательная скорость битка, значит отношение скорости вращения в вертикальной плоскости к скорости поступательного движения увеличивается, и траектория становится более крутой. При бегущем винте увеличивается поступательная скорость битка, значит отношение скорости вращения в вертикальной плоскости к скорости поступательного движения уменьшается, и траектория становится более пологой.
Накат (прямое вращение)
Накат с попутным боковиком (бегущий винт)
Накат (без учета трения между шарами)
Накат с обратным боковиком (обратный винт)
Средний удар:
Бегущий винт
Обратный винт
Оттяжка (обратное вращение)
Оттяжка с попутным боковиком (бегущий винт)
Оттяжка (без учета трения между шарами)
Оттяжка с обратным боковиком (обратный винт)
Средний удар:
Бегущий винт
Обратный винт
• Бегущий винт расширяет угол прокатки при выполнении наката и угол отката при выполнении оттяжки.
• Бегущий винт увеличивает протяженность отскока и уменьшает крутизну дуги наката и оттяжки на резке.
• Бегущий винт отбрасывает ПШ в сторону увеличения угла резки

---

• Обратный винт сужает угол прокатки при выполнении наката и угол отката при выполнении оттяжки.
• Обратный винт уменьшает протяженность отскока и увеличивает крутизну дуги наката и оттяжки на резке.
• Обратный винт отбрасывает ПШ в сторону уменьшения угла резки
То есть можно сказать, что есть небольшой отброс с траектории и для битка. Все эти эффекты для битка не значительны вследствие малой величины силы трения между шарами. ➫ Также отмечаем, что верхнее вращение или нижнее вращение, сохрененное на шаре к моменту соударения уменьшает эффект отброса ПШ. Верхнее/нижнее вращение обеспечит вертикальную составляющую силы трения между шарами, а значит уменьшит ее горизонтальную составляющую. ➫ Чем больше угол резки и тише удар, тем больше отброс ПШ. ➫ Отброс ПШ имеет верхний предел: максимальный бросок около 5°. ➫

---

Следует отметить, что эффект отброса ПШ невелик и в большинстве ударов им можно пренебречь. Эффект броска следует учитывать в двух случаях: при исполнении плоских ударов (биток к моменту соударения не имеет верхнего/нижнего вращения) на небольших скоростях и при планировании ударов от борта. Даже, если у битка в момент соударения с ПШ на резке не будет какого-либо вращения, то есть будет выполнен "плоский" удар, горизонтальная составляющая силы трения между шарами все равно будет, так как поступательное движение битка в момент соударения будет иметь как нормальную, так и тангенциальную составляющую. Причем на плоском ударе горизонтальная составляющая силы трения между шарами будет больше, чем при в случае наличия верхнего/нижнего вращения, а следовательно будет больше и отброс ПШ.
Также боковой винт вступает в игру при сыгрывании шара, когда шар перед падением в лузу неизбежно задевает одну из губок. Такой прием носит название ввинчивание шара. Чтобы произошло ввинчивание, шар должен получить при взаимодействии с губкой попутный импульс, направленный внутрь лузы.
Сила трения создает вращающий момент и на ПШ (т.е передача винта ПШ). И хотя передается небольшое количество винта в направлении броска, это может быть существенным при отражении от борта или при направлении шара в губку лузы.